Cosa studia Alessio Figalli, vincitore della medaglia Fields 2018

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Alessio Figalli

Classe ’84, romano di origine, normalista di adozione, professore di matematica prima alla University of Texas, Austin negli Stati Uniti e poi al Politecnico di Zurigo. Alessio Figalli, enfant prodige della matematica, è stato appena insignito del riconoscimento più brillante della sua carriera, almeno per ora: la International Medal for Oustanding Discoveries in Mathematics, o più informalmente medaglia Fields, il premio più importante e prestigioso nell’ambito della matematica, assegnato ogni quattro anni a scienziati under 40. Tanto importante da essere definito (un po’ impropriamente, dato il limite d’età) come il premio Nobel per la matematica. Il riconoscimento è arrivato per gli studi di Figalli nell’ambito del cosiddetto calcolo delle variazioni, della teoria geometrica della misura e del trasporto ottimale. Ecco di cosa si tratta.

La teoria geometrica della misura
La teoria geometrica della misura, nella sua formulazione moderna, è stata fondata (tra gli altri) dal matematico italiano Ennio De Giorgi. In parole povere e poco tecniche si tratta dello studio delle proprietà delle figure, anche astratte, e della misurazione di loro proprietà geometriche come lunghezza, area e volume. Cosa si intende per figure astratte? Il senso è che la teoria della misura non si occupa solo di triangoli, quadrati, cubi e parallelepipedi, ma anche di altre entità matematiche come le funzioni. Si può immaginare, per esempio, che tutte le funzioni reali di una variabile reale siano elementi di uno spazio (lo spazio metrico delle funzioni reali di una variabile reale, per l’appunto): in tale spazio si possono definire, come per le figure geometriche cui siamo abituati a pensare, i concetti di distanza, lunghezza, ortogonalità e così via. All’interno della teoria geometrica della misura e dei concetti appena introdotti, poi, i matematici hanno formalizzato una serie di altri problemi, tra cui quello del calcolo delle variazioni.

Il calcolo delle variazioni
In generale, per calcolo delle variazioni si intende la ricerca delle condizioni di minimo e di massimo di una data funzione o, più in generale, di un’entità matematica. Per esempio, un tipico problema di calcolo delle variazioni è quello delle superfici minime, ossia la ricerca della forma che, a parità di area, possa racchiudere il volume massimo, che in due dimensioni è la superficie sferica. Figalli, nella sua tesi di laurea breve, ha trattato un lavoro di De Giorgi, pubblicato nel 1965, relativo alla ricerca della superficie minima in tre o più dimensioni.

Un altro problema tipico del calcolo delle variazioni è il cosiddetto problema isoperimetrico, ossia la ricerca della forma che, a parità di perimetro, racchiuda un’area maggiore. Anche in questo caso, con l’aumentare delle dimensioni il problema si fa via via più complicato, e le sue soluzioni hanno applicazioni nel campo della fisica dei cristalli, della meccanica e della finanza: “In questo momento”, ha spiegato Figalli “sulla scia della porta aperta da Ennio De Giorgi, stiamo studiando modelli più generali del problema isoperimetrico”.

Il trasporto ottimale
È lo stesso Figalli, nel 2010, ad aver spiegato a Scienza in Rete cosa è il trasporto ottimale. “In matematica e in economia”, diceva lo scienziato, “il problema del trasporto ottimale consiste nello studio di come trasferire una distribuzione di massa da un luogo a un altro ‘in maniera ottimale’. Storicamente, il problema emerse per la prima volta verso la fine del Diciottesimo secolo, quando, in tempo di continue guerre, ci si chiese quale fosse il modo migliore per spostare il materiale necessario a costruire le fortificazioni, supponendo che il costo del trasporto fosse proporzionale alla distanza. La questione fu formalizzata nella Mémoire sur la Théorie des Déblais et des Remblais, ovvero Trattato sulla teoria degli scavi e terrapieni, redatto dal matematico e disegnatore Gaspard Monge nel 1781.

trasporto

La difficoltà principale di problemi di questo tipo sta nello stabilire, dal punto di vista matematico, se esista effettivamente tale trasporto ottimale e soprattutto se, fissate le condizioni al contorno, si tratti di una soluzione unica o meno. Per saperne qualcosa di più, spiega ancora Figalli, abbiamo dovuto attendere gli anni quaranta del secolo scorso, quando il matematico russo Leonid Kantorovich ampliò ulteriormente lo scenario, aggiungendo la possibilità di dividere la massa da spostare (il cosiddetto splitting) e formalizzando così il cosiddetto problema di Monge-Kantorovich, di grande interesse in ambito economico (tanto che Kantorovich fu insignito del premio Nobel per l’economia nel 1975).

Un altro passo avanti fu compiuto negli anni Ottanta, quando il matematico Yann Brenier formalizzò una variazione del problema del trasporto ottimale di Monge-Kantorovich in cui il costo del trasporto era proporzionale al quadrato della distanza (anziché alla distanza, come nella formulazione tradizionale). In questo caso, Brenier riuscì a dimostrare l’esistenza e l’unicità di un trasporto ottimale. Il problema tradizionale, invece, fu risolto solo nel decennio successivo; contemporaneamente, il matematico Robert McCann si rese conto che il trasporto ottimale poteva essere applicato anche alla meccanica dei gas: “L’idea di fondo”, spiega Figalli, “è che, una volta noto come trasportare una distribuzione di massa (compreso una massa gassosa) da una configurazione a un’altra, si può considerare il processo come se fosse continuo: se il trasporto ottimale invia un punto x su un punto y, allora si considera il segmento che congiunge x a y e si decide di muovere il punto x a velocità costante lungo questo segmento in modo che al tempo 0 si trovi in x e al tempo 1 si trovi in y: così facendo, per ogni istante di tempo t compreso tra 0 e 1 (0<t<1) il gas assume una famiglia di configurazioni ‘intermedie’ che interpolano in maniera naturale tra lo stato iniziale e quello finale”.

gas

Il lavoro di McCann scoperchiò il vaso di Pandora, mettendo in luce tutte le possibili applicazioni della teoria, che è stata tra l’altro trattata estensivamente da Figalli nella sua tesi di dottorato: “Negli ultimi dieci anni sono stati scoperti legami con la teoria delle equazioni alle derivate parziali, la geometria differenziale, eccetera: questo continuo emergere di legami con altri settori della matematica hanno reso, e continua a rendere, il ‘trasporto ottimale’ un argomento tra i più affascinanti ed attivi della matematica contemporanea”.

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