Maturità 2019: la nostra simulazione del compito di matematica

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(foto: Frederik Florin/Getty Images)

Il prossimo giovedì 20 giugno per migliaia di studenti del liceo scientifico è il giorno della seconda prova scritta della maturità 2019, che per la prima volta avrà un carattere multisciplinare e conterrà sia esercizi di matematica sia di fisica. Proprio come negli scorsi anni, invece, ci si potrà aiutare con una calcolatrice scientifica, e il tempo a disposizione per completare il tutto è di sei ore. Se ormai da anni eravamo abituati a confrontarci con due problemi e con un questionario da 10 domande, da questa edizione la prova si abbrevia leggermente dato che conterrà ancora due problemi ma solo otto quesiti. Per ottenere il massimo dei voti basa risolvere correttamente un problema e quattro quesiti, ossia la metà degli esercizi proposti.

Qui su Wired proponiamo un allenamento ad hoc pensato appositamente per gli studenti di quinta superiore che dovranno vedersela con la prova scritta di matematica e fisica. Se non ne avete abbastanza del test presentato in questo articolo, potete continuare a esercitarvi anche con quelli passati (che però sono leggermente diversi, poiché focalizzati solo sulla matematica). Ormai su questo sito abbiamo raccolte una discreta mole di materiale, tra le simulazioni del 2018del 2017del 2016 e del 2015 e le prove ufficiali 2018201720162015 e 2014.

Qui sotto ci sono due problemi inediti e un questionario originale con otto domande, seguiti poi dalle relative soluzioni. Dato che si tratta di un ripasso, o di un riscaldamento, i calcoli da svolgere sono decisamente più rapidi rispetto alle prove ministeriali, perché preferiamo non far perdere tempo con procedimenti troppo macchinosi e puntare sui concetti. Il che significa, tradotto all’atto pratico, che dovreste farcela in un tempo molto inferiore alle sei ore: pronti a cominciare?

Problema 1: scacchi coulombiani

In Coulombia, il Paese che ha come eroe nazionale Charles Augustin de Coulomb, il passatempo preferito a tutte le età è un gioco di strategia. Il tabellone ufficiale consiste semplicemente di un quadrato. Il giocatore in attacco inchioda delle cariche elettriche sui quattro vertici, e chi sta in difesa deve immediatamente posizionare una pallina carica in un punto opportuno del tabellone, in modo che questa resti ferma.

a. Nella versione per bambini, l’attaccante ha a disposizione quattro cariche identiche +q, e può solo scegliere se inchiodarne al tabellone 2 oppure tutte e 4. Cosa faresti se fossi in difesa?

b. Come mai non è possibile, da regolamento, inchiodare una sola carica?

c. Nella versione completa, a complicare il gioco ci sono anche le cariche negative della stessa intensità (-q), e il giocatore in attacco può inchiodare un numero a piacere di cariche, purché maggiore di uno. Si considera però gioco antisportivo il caso in cui la difesa venga lasciata senza possibilità di vittoria. In quali configurazioni con due cariche +q e due cariche -q il gioco è considerato valido?

d. Nel caso in cui le cariche inchiodate siano tre, qual è la differenza più importante tra la strategia di difesa con tre cariche dello stesso segno e la strategia con due cariche di un segno e una opposta?

Problema 2: a spasso per campi

Dopo aver sentito parlare di una rivista chiamata Uaired, gli abitanti di Storpianomi – un luogo in cui la gravità è trascurabile – decidono di disegnare una gigantesca U in cielo. Per farlo generano un campo elettrico di intensità E=100 V/m e, nella regione adiacente, un enorme campo magnetico di B=10 T, poi si procurano una carica elettrica luminosa da q=2 mC e di massa m=100 g.

a. Come potrebbero essere disposti il campo elettrico e il campo magnetico affinché la carica elettrica possa seguire una traiettoria a forma di U? Descrivi in sintesi che cosa dovrebbe accadere.

b. Se il tratto di campo elettrico percorso dalla particella carica è lungo 100 metri, quanto tempo dura l’intera traiettoria a forma di U?

c. Dato che la prima U ottenuta è un po’ troppo larga e poco alta, vengono svolte una serie di prove successive per ottimizzare la forma della lettera, modificando intensità e dimensioni dei due campi. Il signor Formullo, il più acuto abitante di Storpianomi, si dimostra in grado di prevedere che larghezza avrà la U osservando solo la prima parte del moto della carica elettrica, con l’ausilio di un cronometro. Sapendo che il rapporto tra campo elettrico e magnetico viene mantenuto sempre costante e pari a 5, saresti capace anche tu?

d. Se nel cielo sopra Storpianomi non ci fosse alcuna forma di attrito, quale bellissimo effetto luminoso si vedrebbe per tutta la notte?

Qui trovate tutte le soluzioni

Questionario

Quesito 1

Secondo un’antica filosofia matematica, devono essere invocati con il nome di quadrupedi tutti i numeri interi che hanno esattamente 4 divisori. Ad esempio, sono quadrupedi il numero 6 e il numero 8. Sapendo che anche 2019 è un numero quadrupede, qual è la somma dei suoi divisori?

Quesito 2

Una navicella spaziale si muove di moto rettilineo in uno strano campo gravitazionale con una legge oraria x(t) = et. Se è noto che parte con velocità nulla nell’istante t=0, qual è la sua velocità media nei primi 10 secondi del moto? In quale istante assume una velocità istantanea pari a quella media appena calcolata?

Quesito 3

Il campo magnetico che attraversa perpendicolarmente una spira a forma di dodecagono regolare di area 1 m2 varia nel tempo secondo la legge B(t)=8t3+5t2+t-7. Dall’istante t=0 in poi, capita mai che la forza elettromotrice indotta sulla spira si annulli?

Quesito 4

Nella nostra redazione viene soprannominata coppia wirediana una coppia di numeri naturali dispari tali che la loro differenza sia 2. Ad esempio 1 e 3 formano una coppia wirediana, così come 103 e 105. Il famosissimo teorema fondamentale delle coppie wirediane afferma che la differenza tra i cubi dei due numeri formanti la coppia è sempre divisibile per 2, ma mai per 3. Sapresti dimostrare questo teorema?

Quesito 5

Nel calcolare la costante di tempo di un circuito elettrico RC, formato da una resistenza e un condensatore disposti in serie, la Nasa e l’Esa ottengono due risultati diversi. Nel caso della Nasa il valore è log212+log227, mentre per l’Esa è log281+ 2. Davvero una delle due agenzie spaziali ha commesso un errore di calcolo?

Quesito 6

Secondo una biografia non ufficiale, Steve Jobs ha regalato come primo gioco al proprio figlio tre parallelepipedi identici di argento di dimensioni 5cm · 10cm · 12cm, dei cavi e un tester. Lo scopo del gioco era disporre i tre parallelepipedi in modo da rendere massima la loro resistenza totale. Saresti in grado di risolvere il gioco? Come cambierebbe la tua risposta se la resistenza dovesse essere minimizzata?

Quesito 7

A causa del diciottesimo decreto sicurezza, a Dupla si stabilisce per legge che la risoluzione di qualunque limite debba essere svolta facendo riferimento esplicito al teorema dei due carabinieri, noto anche come teorema del confronto. Senza violare le normative, sapresti stabilire il valore del limite per x che tende all’infinito del rapporto 3sin2(x)cos(x)/x?

Quesito 8

Di quanto migliora, in percentuale, la robustezza di una password alfanumerica (26 lettere maiuscole e minuscole, più 10 cifre) passando da una lunghezza di 6 a una di 8 caratteri?

Qui trovate tutte le soluzioni

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